我的第一篇博客笔记

这是我的第一篇博客笔记，就记录前几天的一个学习感触吧。今天的AI的确可以帮助学习和研究了。我在读Manolescu写的综述时，看到他说“Moise在1952年证明了三维流形的拓扑、P.L.、光滑三个范畴等价”，但如果去查Moise的论文，只能看到他证明了拓扑和P.L.两个范畴的确是等价的。我再去查更多三维流形的专著，它们也都很含糊的讲这个事实，但也没给更多的参考资料。

我尝试问AI这个问题，才给出我更多的信息，一篇是Munkres的 (1960). “Obstructions to the smoothing of piecewise-differentiable homeomorphisms”. Annals of Mathematics, 72(3), 521–554. ，另一篇是Morris Hirsch的(1961). “On combinatorial submanifolds of differentiable manifolds”. Annals of Mathematics, 73(3), 537–546.

不过这两篇文章似乎也没有直接的解答。然后我再去mathoverflow里找，有一篇回答比较好地解决了这个问题Classification of surfaces and the TOP, DIFF and PL categories for manifolds。关于光滑和P.L.的等价性，可能最直接的参考是Milnor的综述文章中的第二个定理，证明要用到谱序列的知识，也可以看这个slides的第10页。

总之，泛泛说Moise证明了三者等价，我认为是不对的。